生成函数的模板题

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前置知识：

\[ \sum_{i=0}^{+\infty}x^i=\frac{1}{1-x} \]

其实就是等比数列求和公式，这就是公比为\(x\)的等比数列，然后取\(x\in(-1,1)\)

也就是你只要会等比数列求和就行了

也就有

\[ (1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k=(1-x)^k \]

然后还有一个结论，就是\((1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k\)的第\(i\)项系数就是\(\binom{i+k-1}{k-1}\)

证明的话插板法就好了

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承德汉堡：\(\frac{1}{1-x^2}\)

可乐：\(\frac{1-x^2}{1-x}\)

鸡腿：\(\frac{1-x^3}{1-x}\)

蜜桃多：\(\frac{x}{1-x^2}\)

鸡块：\(\frac{1}{1-x^4}\)

包子：\(\frac{1-x^4}{1-x}\)

土豆片炒肉：\(\frac{1-x^2}{1-x}\)

面包：\(\frac{1}{1-x^3}\)

然后乘起来就是\(\frac{x}{(1-x)^4}\)

设

\[ f(x)=\frac{x}{(1-x)^4}\\ f(x)=x(1+x+x^2+x^3+...)^4 \]

那么我们要求的也就是\(f(x)\)的第\(n-1\)项系数，也就是\(\binom{n+2}{3}\)

实现的话其实也没必要写高精度，读入的时候按位读，边读边模就好了

代码：

#include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        using namespace std;void read(int &x) {    char ch; bool ok;    for(ok=0,ch=getchar(); !isdigit(ch); ch=getchar()) if(ch=='-') ok=1;    for(x=0; isdigit(ch); x=x*10+ch-'0',ch=getchar()); if(ok) x=-x;}#define rg registerconst int maxn=1e3+10,mod=10007,inv=1668;int n,len,m=1;char a[maxn];int main(){    scanf("%s",a+1),len=strlen(a+1);    for(rg int i=len;i;i--){        n=(n+m*(a[i]-'0'))%mod;        m=m*10%mod;    }    printf("%d\n",n*(n+1)%mod*(n+2)%mod*inv%mod);}